Вступительное задание по математике
- Ваня выбрал несколько различных натуральных чисел. Произведение двух самых
маленьких из них равно 16, а произведение двух самых больших равно 225. Чему
равна сумма всех Ваниных чисел? - По дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идет в
гору со скоростью 30 км/ч, а под гору – 60 км/ч. Найдите расстояние между
аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа. - Квадратная площадь размерами 100х100 м2 выложена квадратными плитами со
стороной 1 м четырех цветов: белого, красного, черного и серого. Никакие две
плиты одного цвета не имеют общей стороны или общей вершины. Сколько может
быть плит каждого цвета? - Дан правильный треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята
точка D, а на продолжении стороны BC за точку C — точка E так, что BD = DE.
Докажите, что AD =CE. - 25 волейбольных команд провели турнир в один круг. Оказалось, что среди любых
пяти из этих команд есть команда, выигравшая у остальных четырех, и команда,
проигравшая остальным четырем. Докажите, что в этом турнире, одна из команд
выиграла у всех остальных.
Вступительное задание по физике, 9 класс
- Автомобиль проехал расстояние между городами за время t1 со скоростью υ1. Назад он ехал часть пути со скоростью υ2 (υ2 < υ1) и время t2 = t1, а остальной путь – со скоростью υ3. Определить среднюю путевую скоростью движения автомобиля.
- В сосуд наливали воду, одновременно открыв, а затем, через некоторое время, одновременно закрыв два крана. Определите температуру воды в сосуде, если из одного крана подавалась вода при температуре 12 °С со скоростью 0,25 литров в секунду, а из другого – при температуре 60 °С со скоростью 0,45 литров в секунду. Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/(кг∙°С).
- Шесть резисторов сопротивлениями R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 5 Ом и R6 = 6 Ом соединены с источником постоянного напряжения U0 = 5,1 В. Между резисторами подключили два вольтметра и амперметр. Определите показания U1, U2, I. Приборы считайте идеальными.
- Левое плечо легкого рычага имеет длину L1 = 8 см, а правое — L2 = 4 см. К левому плечу подвешен алюминиевый куб, а к правому — гиря массой M2 = 300 г. Когда куб погрузили в воду на 2/3 его объема, оказалось, что рычаг уравновешен. Найдите объем куба. Плотность алюминия ρ1 = 2,7 г/см3, плотность воды ρВ = 1 г/см3, ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.
- Однажды у Винни-Пуха закончился мёд. Он взял двадцать одинаковых шариков с гелием, тяжелый камень, горшочек для мёда и пошел к дереву с ульем. Там он отпустил камень и взмыл к улью. Набрав 8 кг мёда, Винни-Пух оттолкнулся от дерева и начал медленно опускаться вниз. Определите массу горшочка, если масса медведя 10 кг, объем шарика 1 м3, плотность воздуха ρ1 = 1,2 кг/м3, плотность гелия ρ2 = 3∙10-4 г/см3. Массу оболочки шарика принять равной 10 г, объем медведя – 0,5 м3.
Вступительное задание по физике, 8 класс
- Лидер велогонки, завершая сотый круг, обогнал основную группу на 4 круга. Найдите среднюю скорость лидера, если средняя скорость группы равна 48 км/ч.
- В полдень из деревни в город выехал автомобиль. Он ехал с постоянной скоростью и прибыл в город в час дня, но в дороге двигатель заглох, и водитель затратил на ремонт треть времени, ушедшего на дорогу от деревни до места поломки. Чтобы прибыть в город по расписанию, водителю пришлось на оставшемся участке пути ехать со скоростью в два раза большей запланированной. Какое время показывали часы в тот момент, когда заглох двигатель?
- Чугунный шар, имеющий внутри полость, плавает в воде, погрузившись наполовину. Найти объем внутренней полости, если масса шара 5 кг, плотность чугуна 7800 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3.
- В вашем распоряжении восемь золотых монет. Известно, что одна из них фальшивая, Они имеет массу на 0,5 г меньше. Как с помощью рычажных весов без гирек и за какое минимальное количество взвешиваний можно определить фальшивую монету?
- Как надо соединить подвижный и неподвижный блоки, используя минимальное их количество, чтобы при подъеме некоторого груза получить выигрыш в силе в 3 раза. Трением и массой блоков пренебречь.